Аксиомы, интуиция и договоренность в научном исследовании
Потому не удивительно, что логiцисти с пренебрежением отбрасывали саму мысль о возможности применения iнтуїцiонiзму в математике. Вся математика, с их точки зрения, может быть выведена из нескольких понятий, что самовизначаються, и предложений, которые не приходятся; эти понятия и предложения закладываются в основу логики.
В то же время, коли-б казалось, что понятие "интуиция" окончательно будет выброшенной из математики, Пуанкаре был фактически единственным из європейських ученых, кто осмелился на критику программы логiцизму. Знаходячись практически в одиночестве, он не только защитил интуицию, а еще и предусмотрел крах логiцизму во время его
наибольшего расцвета, когда, по словам Рассела, "большие триумфы пробуждали большие надежды".
В вопросе о природе математического знания и природе математики Пуанкаре оказался втянутым в длительную полемику с британскими и французскими сторонниками логiцизму (Расселом, Уайтхедом, Кутюра).
К оценке логицизма Пуанкаре подходит дифференцировано. По его мнению, символическая логика, что развивается логистами, "богаче классической, численность символов увеличилась, они дают возможность будучи разнообразные комбинации уже в необмеженiй количестве"[3. -с.21]. Несомненную притягательность логических определений Пуанкаре вбачає в том, что они обеспечивают строгость, которой раньше недоставало математике, которая принимала свои основные положения без надлежащего обоснования.
Но выдвинутую логiцистами программу построения математики, и насамперед ее основы - арифметика, с помощью исключительно одной лишь логики, Пуанкаре считает неприемлемой. По его мнению, "чистая логика всегда приводила бы нас лишь к тавтологии и она не могла бы створити ничего нового" [3. -с.21].
Пуанкаре выдвигает следующие принципиальные возражения логизму: новые результаты в математике нельзя получить лишь при помощи логики - нужна еще и интуиция; доведение уже полученных математичних истин невозможно без обращения к интуиции; символика логистов являет собой
кандалы для математического творчества.
Общий итог этих возражений - невозможность сводки математики к логике и необходимость признать интуицию одним из основоположень математики. Пуанкаре не ограничился лишь критикой логiцистiв, он разработал достаточно детальное учение об интуиции.
Таким образом, не отрицая той роли, которую играет логическое виведення в математическом творчестве, Пуанкаре в то же время считает, что одной лишь логикой математика никоим образом не исчерпывается. То есть необхiдним является еще одним видом творчества, который безапелляционно отрицали логiцисти, а именно - интуиция. Логика может лишь разворачивать, розкривати то знание, которое с самого начала заложено в выходных передумовах: "Доведение, которое основывается по-настоящему на принципах аналитической логики, должно состоять из ряда предложений; одни из них, что служат предпосылками, будут представлять тождественности или визначення, другие - будут выводиться из первых шаг за шагом, но, хотя связь между каждым предложением и следующим замечается непосредственно, нельзя будет сразу же увидеть, как осуществился переход от першого предложения до последнего, и появится искушение рассматривать его как новую истину.
Считая действительным источником математического творчества интуицию, Пуанкаре различает в ней несколько видов: "сначала обращение к чуттiв и воображения; потом обобщение при помощи индукции, так сказать, зкопiйоване из приемов экспериментальных наук; наконец, мы имеем интуицию чистого числа ...которая может дать начало справжньому математическому рассуждению"[3. -с.402]. При Пуанкаре, первые два вида интуиции, которые связаны с чувственностью, не сами по себе дають достоверного знания; их данные должны быть еще преобразованными в научные факты.
Третий вид интуиции, который является интеллектуальным, дает, по мнению Пуанкаре, вполне достоверное знание. Понятие интеллектуальной интуиции вырастает в Пуанкаре на основе констатации таких фактов научного творчества, в том числе и своей собственной, когда постижение истины происходит без явно выраженного процесса логических выведений и потому имеет вид непосредственного угледiння. Следует подчеркнуть, что в розумiннi интуиции Пуанкаре отбрасывает бергсонiвський интуитивизм. По его мнению, неверным будет видеть в интуиции иррационально мистический процесс. Он, специально отмечая это, очень много внимания уделял конкретному анализу интуиции. Обращая внимание на то, что вспышка интуиции у ученого всегда происходит после периода свiдомого и напряженного мышления, Пуанкаре выражает предположение, что нова идея, которая выступает в акте интуитивного просвитлення и является решением данной проблемы, являет собой результат недвусмысленного продолжения логического процесса, так будто происходит возникновение новой логики.
В трудах Рассела, которые претендуют на полное устранение интуиции из математики, Пуанкаре находит много логично недоказанных и невизначених сроков, которые, по его мнению, могут быть лишь результатом непосредственного интуитивного созерцания. Называя логiцистiв чистыми аналитиками, Пуанкаре утверждает, что их исследование в сфере арифметики фактически направляет не логика, а "интуиция чистого числа, интуиция чистых логических форм". Отношения, которые должны встановитись между интуитивным и логическим знанием, Пуанкаре представляет себе как тесное сотрудничество, в котором, однако, основополагающая роль принадлежит интуиции: "При помощи логика доводит, а при помощи интуиции винаходять"[3. -с.400].
Но, в то же время, выдающийся математик не преувеличивает и возможностей интуитивного метода: "Интуиция не способна дать нам ни строгости, ни даже достоверности - это заметно все больше и больше". Потому интуиция и логика в математике должны взаемодоповнюватись: "...логiка и интуиция играют каждая свою необходимую роль. Обе они являются неминуемыми. Логика, которая лишь одна и может дать достовiрнiсть, является орудиями доведения; интуиция является орудиями"[3. -с.401].
При Пуанкаре, ум - это слуга двух хозяев: логика доводит, а интуиция творит. I и, и другая является одинаково необходимыми в математичних исследованиях. Но, все же, сам Пуанкаре отдает преимущество интуиции. Но это и не удивительно, если учесть, что именно интуиция багато раз приводила его к новым открытиям, позволяла открыть новые возможности. Об интуитивном характере своего творчества говорил и он сам в знаменитом докладе 1908 года на заседании Психологiчного общества, которая вошла в книгу "Наука и метод" у виглядi главы под назвод "Математическое творчество". Здесь он приводит примеры из своей деятельности и говорит о том, что счастливая мысль приходит к творцу, как правило, не в то время, когда он трудится над проблемой, а пися того, когда он, не найдя решения, тимчасово откладывает задачу, забывает о ней.
Как и Гельмгольц, Пуанкаре отмечает, что "эти внезапные озарiння не происходят иначе, чем после нескольких дней волевых усилий, которые казались совсем бесплодными, так что весь пройден путь в кiнцевому счете представлялся порочным. Но эти усилия оказываются в действительности не такими уже и бесплодными, как это казалось; это они привели к движению машину невесомого, которая без них не начала бы двигаться и ничего бы не произвела"[3. -с.162]. Прыжок воображения лишь завершает длительные и упрямые размышления над проблемой.