Аксиомы, интуиция и договоренность в научном исследовании
Таким образом, в процессе творческой работы Пуанкаре выделяет несколько этапов: после некоторого периода сознательного труда и неудачных попыток досягти результата наступает более или менее длился перерыв, во время которого безсвiдома работа не прекращается, потом внезапно появляется решающая мысль. Известен голандский математик Е.Бет зформулював эту концепцию Пуанкаре так: "Подготовка, инкубация, вдохновение и перевiрка"[Цит.за: 4. -с.236]. Процесс инкубации идей или процесс работы, как подчеркивал Пуанкаре, является возможным или хотя бы небесполезным, если ему предшествует и за ним наступает период сознательной работы. Сознательная работа является особенно необходимой для обработки результатiв вдохновения.
Отсюда Пуанкаре задает такой вопрос: не выплывает ли в таком випадку, что "я" подсознательное является чем-то более высоким, чем "я" сознательное? Это питання для него неслучайное, ведь именно к такому выводу пришел Е.Бутру, филосов, который двумя месяцами раньше выступал на заседании Психологического твариства где осуществлял свое выступление Аноi Пуанкаре. Пуанкаре относительно выводов Бутру высказался категорично: "Что касается меня, то я, сознаюсь, отнесся бы к такому ответу далеко не сочувственно". Так же критически он оценил взгляды Бутру и в своем докладе "Эволюция законов", провозглашенной на IY Международном конгрессе.
Отбрасывая логiцизм, Пуанкаре в вопросе о природе арифметики, которая из второй половины ХIХ века рассматривалась в качестве основы всей математики, предложил свой вариант, который основывался на кантовских идеях. В основополагающем для арифметики принципе повної индукции Пуанкаре видел априорное синтетическое суждение, какое являє собой "только доказательство могущества нашего ума, уверенного в своей способности, возможности представлять себе то или другая действие такой, которая повторяется к бесконечности, поскольку она оказалась можливою хотя бы раз"[3. -с.166].
Борьба Пуанкаре против логiцизму имела еще одно следствие. Она была направлена против методологии iндуктивiзму, который во многом базировался на аналитических идеях логiцизму. Выступления Пуанкаре из критикою логiцизму, поддержанные Бутру, Мейерсоном, имели выдающееся значение, поскольку поставили преграду на пути розповсюдження эмпиризма во французской философии.
С критикой логизма был связан еще один аспект творчества Пуанкаре. Это касается канторовой теории множественных чисел.
Как и много других математиков, Пуанкаре считал несуперечливiсть наивысшим критерием полноценности математической теории. Но на грани ХIХ и ХХ веков в теории множественных чисел оказались противоречия, к которым приводят вполне верные в логическом отношении рассуждения. Именно эти невирiшуванi парадоксы и отвернули Пуанкаре от теории множественных чисел. Он ставил под сомнение ее право на существование, поскiльки отдельные ее положения противоречить друг другу. Потому он выступил: против застосовування "трансфiнiтних чисел", введенных Кантором; с критикой аксиоматики Цермело; против теории типов Рассела; критиковал непредикативнi определение в математике. По мнению Пуанкаре, аксиома Цермело (в 1904 г.) являла собой априорное синтетическое суждение, а потому все попытки Рассела довести эту аксиому он считал безнадежными.
Пуанкаре также был инициатором современной постановки проблемы непредикативностi. В качестве непредикативных определений он рассматривал определения, которые построены по принципу заколдованного круга, - когда рассуждение, которое ведет к желаемому результату, само опирается на то, что с его помощью нужно определить. Источником непредикативностi и всех противоречий в теории множественных чисел Пуанкаре считал основное понятие этой теории - актуальную бесконечность. Потому, по его мнению, это понятие следует исключить из математического
потребления, и это даст возможность выйти из парадоксов теории множественных чисел.
Такие же замечания можно навести и касательно "герменевтичного круги", когда вместо аксиоматического введения делают попытку предикацiї, тем самым попадая в "заколдованный круг" неоконченного регресса предикатов.
Первый такой парадокс обнаружил в 1897 году итальянский математик Буралi-форте. Позже, в 1899 году, еще одна антиномия была виявлена Кантором. Тогда эти парадоксы еще не осознавались фундаментально. Но сокрушительный удар по теории множественных чисел нанесло открытие парадоксу Рассела, поскольку он вытекал прямо из определения множественного числа, данного Кантором. Вскоре были открыты парадокс Рiшара (в 1905 г.), парадокс Греллiнга (в
1908 г.) и другие. Оказалось, что в теории множин имеет место даже парадокс "лгун", который был известен еще давним грекам.
Дело осложнялось тем, что теория множественных чисел на то время составляла подпочву практически всей математики. Выявление парадоксов показало, что фундамент этой подпочвы сам достаточно шатким. Сами основы математики и логики оказались невирiшуваними противоречиями. Состоялся крах, казалось бы, непреклонных понятий и представлений - то есть, иначе говоря, кризис фундаментов математики.
Этот кризис резко загостриила борьбу между такими течениями, как логизм, интуиция и формализм. Выступления Пуанкаре против логизма и приемлемости актуальной бесконечности, разработка им учения о математической интуиции были одним из источников возникновения iнтуїцiонiзму как одного из направлений в обосновании математики. Для сторонников iнтуїцiонiзму характерным является отбрасывание абстракции актуальной бесконечности и "чистых" теорем существования, а также неприятие неограниченного применения закона исключенного третьего.
Конвенциональная позиция Пуанкаре может рассматриваться как весьма близкая к математическому интуицизму. Близость идей Пуанкаре и основоположника интуицизма Брауера много исследователей вiдзначають даже в названиях взглядов Пуанкаре: Френкель и Бар-Хiллел визначають его позицию как ранний интуицизм, Бет. Сам же Брауер охарактеризовал Пуанкаре как одного из руководителей школы.
При гносеологической характеристике геометрии Пуанкаре выразил ряд положений, на основании которых его философию науки начали iменувати конвенционализмом. Он утверждал, что "геометрические аксиомы не являют собой ни математических суждений а priori, ни актов опыта. Они являются конвенциями..."[3.-с.40]. Iнше формулировки Пуанкаре подчеркивает произвольность и субъективность конвенций: "Эти конвенцiї является творением свободного творчества нашего ума, который в некоторой отрасли не знает никаких препятствований. Здесь он может утверждать, оскiльки он же и делает себе предписания... Эти предписания имеют значение для нашего познания, которое без них было бы невозможным, но они не имеют значения для природы"[3. -с.41]. Iншi характеристики геометрических аксиом-конвенций приближают позицию Пуанкаре к прагматизму: "Никакая геометрическая система не может быть вернее другой;
Однако, для точного определения позиций Пуанкаре необходимо, что именно он понимал под конвенциями, какой смысл вкладывал в понятие "удобство" и отождествлял ли "свободное творчество нашего розуму" при выработке конвенций с их полной произвольностью.