Понятно, что ряд экономических задач допускают такие ма­тематичні модели, к которым неизвестные или некоторая их часть вхо­дять нелинейно. Например, пусть критерием оптимума является себестоимость единицы выработанной продукции. Очевидно, что она зависит от размера предприятия. Да, из збільшен­ням объема продукции себестоимость ее уменьшается. Однако такое уменьшение не безгранично. Наступает такой момент, когда внутріш­ні расходы предприятия начинают расти (увеличиваются расходы на перевозку, сохранение продукции и тому подобное), что в свою очередь приводит к увеличению себестоимости.

Функция, которая и спадает, и растет, уже не может быть линейной. Кроме того, если учесть в моделях линейного программирования другие возможны случаи, то эти модели трансформируются также в нелинейных. Например, допустив, что в задаче о вико­ристання ресурсов объем реализации влияет на
прибыль, имеем целевую функцию с нелинейностью.

Следовательно, линейные модели мы можем считать первым набли­женням реальной задачи. В тех случаях, когда существует широкий выбор допустимых планов и наше представление о характере опти­мального связи не совсем полное, линейные модели могут быть неадекватными.

В большинстве случаев нелинейность модели обусловливается, как правило, структурными соотношениями экономического процесса или непропорциональностью изменения расходов, выпуска продук­ції, показателей качества.

Одной из основных особенностей задач НЛТ есть возможность разными способами задавать целевую функцию. Если в линейном случае она была строго монотонной и достигала своего оптимального значения лишь в вершини многоугольного решения; то здесь картина совсем другая. Например! даже график функции, одной переменной, свидетельствует о том, что она уже имеет много локальных максимумов.

Вторая особенность задач НЛП выплывает из нарушения свойства выпуклости многоугольного решений задач ЛП. Легко привести примеры задач, где область решений задачи НЛП будет многосвязной.

Строители использовали также правило про­порційного делению. Ремесленникам нужны были понятия о геометрических фигурах и формах, об объемах геометрических тел. Использовали они и правило пропорционального деления. Задание художников было сложнее: им нужно было воспроизвести на двумерной плоскости то, которое происходит в трехмерном пространстве. Для этого им пришлось разработать своеобразную геометрию — род проективной геометрии.

Потребности решать задачи фортификации и обороны крепостей обусловили создание в последней четверти XVIII ст. еще одной отрасли геометрии — очерковой геометрии.

Идеи геометрии — одна из основ, на которой в XIX ст. была фактически создана современная теория проектирования будівель­них сооружений, а также общее машиностроение.

Геометрические рассуждения во время выполнения многих работ часто бывают решающими.

Геометрия помогает определять площади разных повер­хонь, что важно не только для сельского хозяйства, но и для строительных работ, для расчетов, связанных из пошивом одежды и обуви, с вычислением затраты топлива и тому подобное, находить объемы тел, которые нужны, например, при расчетах затраты материалов во время строительных работ.

При строительстве гидротехнических сооружений, создании системы орошения земель придется определять количество воды, которая проходит за единицу времени в том или другом месте канала. И здесь скорость течения множат на площадь попереч­ного перерезу потока, то есть опять обращаются к гео­метрії.

Расчеты работы многих машин и приборов ґрунтуються на соответствующих свойствах геометрических фигур.

Разные изделия как тяжелой (верстать, двигатели и тому подобное), так и легкой (обувь, головные уборы и тому подобное) промышленности випус­кають несколькими сериями. При определении размеров в основу кладут подобие фигур и свойства прогрессий.

При строительстве путей закругляет на поворотах осуществляют с помощью специально дибраних кривых (не только круги).

Математика учит четкости и строгости и четкости мір­кувань, учит осознавать все применяемые в доведен­нях ссылку и различать доказанное и догадка, воспитывает требовательность к полноценности аргументации.

В Древней Греции золотое деление широко використо­вували как архитекторы (Парфенон в Афинах), так и скульп­тори (статуя Аполлона).

Существует правило, за которым лоб, нес и нижняя часть об­личчя красивого человека должны иметь одинаковые размеры. У человека, лицо которого кажется особенно пропорциональным, рот делит нижнюю часть лица, а дуги бровей — все лицо в золотом отношении.

Еще в давние времена замечены, что прямоугольник, в котором стороны составляют части отрезка, разделенного за прави­лом золотого деления, производит приятное зрительное впечатление. Потому такой формы специально предоставляют многим предметам: почтовым открыткам, маркам,
картинам, книжкам (когда это, конечно, не противоречить требованиям практики).

Таким образом, золотой перерез применяется в таких, казалось бы, отдаленных од математики вопросах, как тео­рія стихосложение, музыка, архитектура, эстетика, живопись.

Мы привыкли различать окружающие предметы за их роз­мірами, цветом, массой и тому подобное. Чтобы обнаружить эти відмінно­сті, нужны наблюдение и измерение. В частности, в результате измерения мы делаем вывод, что лист ученической тетради имеет форму прямоугольника с длиной 20 см и шириной 17 см, причем он разбит на квад­рати, в каждое из которых длина стороны 5 мм

Такое описание, очевидно, не охватывает всех особенностей и свойств листа. Здесь не сказано ничего, например, о его толщине, цвете и качестве (в частности, о том, прозрачный ли он, можно ли писать на нем ручкой, только ли карандашом и тому подобное).

Однако именно форма вещей и их размеры и интересуют гео­метрію.

Математика, в том числе и геометрия, является одной из самых древних наук. История человечества насчитывает свыше 2 міль­йони лет. Уже первобытным людям приходилось считать: нужно было определять, сколько людей в той или другой группе, давать количественную оценку добычи (мяса, рыбы, плодов, по­живних корней) и тому подобное.

Не могли люди не обратить внимание также и на формы вещей: чтобы изготовить наконечник стрелы или копья, видов­бати лодка из ствола, нужно было присматриваться к від­повідних формам камней, стволов деревьев и тому подобное. Фиксируя самые приемлемые формы, люди научились изготовлять по­суд, приспособление для работы и охоты, оборудовать жилье.

С развитием человеческого общества накапливались знания о формах и свойствах этих форм, что способствовало усовершенствованию трудовых процессов, связанных из будівни­цтвом каналов, городищ и разных по назначению больших сооружений.

Переход к осидлого земледелию выдвинул проблему измерения земельных участков. Появились и первые фа­хівці в этой отрасли — землемеры. Чтобы лучше выполнять свои профессиональные задания, они вынуждены были обнаруживать и изучать свойства разных форм и фигур.

Грандиозные египетские пирамиды, удивительные сооружения в Америке, Индом, Китае, многим из которых по несколько тысяч лет, свидетельствуют, что уже в седую давность люди много знали о формах вещей и умело использовали эти знания.

Однако это еще не были научные знания. Математика стала наукой лишь в VII—VI веках к н. е.— с того времени, когда в ней начали не только описывать фигуры и их власти­вості, но и обґрунтовувати наличие этих власти­востей, доводить правильность выраженных об этих фигурах утверждений.

Но все они являли собой определены наборы задач (здебіль­шого практического содержания) с указаниями относительно того, как найти неизвестное число — количество вещей, расстояние, время, площадь и т.п. И совсем не объяснялось, почему следует делать именно так, а не иначе. Просто подавался образец, за которым нужно было решать аналогичные задачи.

Теперь положение в корне изменилось: на первое место выдвигается обґрунтування правильности развязывания, доведения. За 600 лет до н.э. такой учебник из геомет­рії нового типа написал греческий ученый Фалес Милетский (640-548 к н. е.). Он был философом-материалистом, астрономом и математиком, его считали одним из самых выдающихся мудрецов древних времен, дважды награждали золотой треногой как самого мудрого из эллинов. Учебник Фалеса был небольшим по объему, но именно с него начинается история геометрии как науки.

Среди ученых-геометров особенное место принадлежит гре­цькому математику Евклиду (IV-III ст. к н. е.). В около 300 г. до н.э. он написал произведение под названием «Нача­ла», в 13 книгах которого систематизировал математические знания того времени, подав их в стройной системе. «Начала» Евклида на протяжении двух тысяч лет считали образцом научного произведения вообще и переиздавали разными языками свыше 500 раз.

Построение геометрии и в наше время во многом здійс­нюється по плану Евклида, а геометрию, которую мы изучаем, называют евклидовой. К XIX ст. в школах ряда стран геометрию вообще изучали за «Началами» Евклида, Кое-что переделав их. Современные учебники, хоть и имеют существенные отличия от «Начал», доказательства многих теорем подают в основном за Евклидом.

Срок «точка» происходит от глагола «ткнуть», первіс­ний содержание — следствие мгновенного укола (латинское pungo — «колю»). Срок «линия» происходит от латинского Ііnеа, Что значит «лляна нить». Сначала под линией понимали только прямую (натягнену нить, веревку), но уже в IV ст. до н.э. понятие линии расширилось, и прямую считали лишь одним из видов линий.

Градусное измерение углов появилось у вавилонян приблизительно 45 возрастов потому. Переход к осидлого земледелию обусловил потребность ведения календаря, а он мог базува­тися лишь на данных астрономии. Потому не случайно в Ваві­лоні велись систематические наблюдения за созвездиями и планетами, за их видимыми перемещениями по небесной сфере. При этом заметили, что диаметры видимых кругов У Солнца и Луны почти одинаковы, причем в половине круга, который описывают над горизонтом, укладываются 180 раз.

К XVII веку в греческих и европейских матема­тиків речь шла лишь об углах, не больших от развернутого. Учение об углах произвольной величины появилось значительно позже.

Срок «градус» — происходит от латинского gradus, буквально означает «шаг». Современные обозначения градусов и их частей (минут, секунд) ввел в 1558 г. французский врач и математик Пелетье. В начале XVII сто­ліття они уже широко распространились.

Во Франции ввели деление прямого угла на 100 ровных час­тин, которые назвали градами. Град разделяется на 100 метрические минут, а метрическая минута на 100 мет­ричних секунд. Такие единицы измерения вико­ристовують также в Бельгии, Голландии, Люксембургу.

Моряк разделяет развернутый угол на 16 ровных час­тин — румбов.

В легенде ничего не сказано о годе рождения Пифагора; исторические исследования датируют его появление на мир приблизительно 580 годом до нашей эры. Вернувшись из путешествия, счастливый отец строит церковь Аполлону и окружает молодого Пифагора заботами, которые могли бы способствовать исполнению пророчества Аполлона.

Возможности дать сыну хорошее образование и воспитание в Мнесарха были. Как и любой отец, Мнесарх мечтал, что сын будет продолжать его справу-ремесло золотых дел мастера. Жизнь решила иначе. Будущий математик и философ уже в детстве обнаружил большую способность к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знание основ музыки и живописи. Для улучшения памяти Гермодамас принуждал его изучать песни из “Одиссеи” и “Илиади”. Первый учитель научил Пифагора любить природу и изучать ее тайны.

Прошло несколько лет, и по совету своего учителя Пифагор решает продлить учебу в Египте, в жрецив. Попасть в Египет в то время было очень тяжело, потому что страну практически закрыли для греков. С помощью учителя Пифагору удается оставить остров Самос. Но пока еще в Египет далеко. Он живет на острове Лесбос у своего родственника Зоила. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом- другом Фалеса. В Ферекида Пифагор учится астрологии, тайнам чисел, медицине и другим обязательным на то время наукам. Пифагор прожил на Лесбосе несколько лет. Оттуда путь Пифагора лежит в Милет к известному Фалеса, основателя первой в истории философской школы.

Пифагор внимательно слушает в Милети лекции Фалеса, которому на то время было уже 80 лет, и его ученика Анаксимандра, известного географа и астронома.

Перед Египтом он на некоторое время останавливается в Финикии, где, за легендой, учится в известных сидонских жрецив. Пока он живет в Финикии, его друзья добились того, чтобы Поликрат- владелец Самоса, не только извиняет беглеца, но даже посылает ему рекомендательного письма для Амазиса- фараона Египта. В Египте благодаря допози Амазиса Пифагор знакомится из мемфийскими жрецями. Ему удается попасть в- египетские храмы, куда чужестранцев не пускали. Чтобы примкнуть к тайнам египетских храмов, Пифагор принимает посвящение в сан жреця.

Учеба Пифагора в Египте способствует потому, что он становится одним из наиболее образованных людей в свое время. К этому периоду относится событие, которое изменило все его будущее жизни. Умер фараон Амазис, а его преемник по трону не оплатил ежегодную дань Камбизу, персидскому царю, что служило достаточным поводом для войны.

Согласно старинным легендам, в плену в Вавилони Пифагор встречался с персидскими магами, примкнул к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов. Халдеи познакомили Пифагора со знаниями, которые собирались восточными народами на протяжении многих возрастов: астрономией и астрологией, медициной и арифметикой. Эти науки у халдеев в значительной мере опирались на представление о магических и сверхприродных силах, они предоставили определенное мистическое звучание философии и математике Пифагора...

Двенадцать лет находился в вавилонскому плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп, прочувший об известном греке. Пифагору уже 60, он решает вернуться родину, чтобы приобщить к приобретенным знаниям свой народ.

С того времени как Пифагор оставил Грецию, там состоялись значительные изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию, которую тогда называли Большой Грецией, и учредили там города-колонии: Сиракузи, Агригент, Кротон. Здесь и решает Пифагор создать собственную философскую школу. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Ученики этой школы обязывались вести так называемый пифагорейской образ жизни.

Достаточно быстро он добывает большую популярность среди населения. Энтузиазм населения настолько большой, что даже девушки и женщины нарушали закон, заборонявший им находиться на собраниях. Одна из таких нарушительниц, девушка на имя Теано, вскоре становится женой Пифагора.

В то время в Кротони и других городах Большой Греции растет социальная нервнисть, усиливается социальная подавленность. В такой обстанови Пифагор выступает с развернутой речью морального усовершенствования и познания. Жительнице Кротона единодушно выбирают мудреца цензором моральных качеств человека, своеобразным духовным отцом города. Пифагор умело использовал знания, полученные во время путешествий по миру. Он совмещает наилучше из разных религий и верований, создает свою собственную систему, выдающимся тезисом которой стало убеждение в неразрывной связи всего существенного (природы, человека, космоса) и в равенстве человека перед лицом вечности и природы.

В совершенстве владея методами египетских жрецив, Пифагор “очищал души своих слушателей, вигоняв изъяна из сердца и наполнял умы светлой правдой”. В Золотых стихотворениях Пифагор показал те моральные правила, суровое выполнение которых приводит души помилившихся к идеалу .

Делай лишь то, что в будущем не огорчит тебя.

Не делай никогда того, которое не знает. Но учись всему, что нужно знать, и тогда будешь вести спокойную жизнь.

Не презирай здоровьем своего тела. Давай ему своевременно еду и питья, и упражнения в которых оно требует.

Приучайся жить просто.

Не закрывай глаз, когда хочешь спать, не рассмотрев всех своих поступков в прошлый день.

На перстни Пифагора ло вычеканен такой девиз: “Временная неудача лучшая временной удачи”.

Со временем Пифагор заканчивает речи в храмах и на улице, а учит уже у себя дома. Система образования была тяжелой, многолетней. Желающие примкнуть к знанию должны были пройти испытательный срок от трех до пяти лет. Все это время ученики были обязаны хранить молчание и только слушать Учителя, не задавая никаких вопросов. В этот период проверялись их терпеливость и скромность.

Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и много другому. Из его школы вышли известные политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развивал теорию музыки и акустики, создал известную “пифагорейскую гамму” и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найдены отношения он выразил на языке математики. В школе Пифагора впервые была выражена догадка относительно кулеподибности Земли. Догадка о том что движение небесных тел подлежит определенным математическим отношением, идеи “гармонии мира” и “музыки сфер”, в будущем привели к революции в астрономии, впервые появились именно в кругу Пифагора.

Пифагорейцы создали первую математическую теорию музыки. В качестве символа пифагорейцы выбрали пятипалую звезду, хоть сам Пифагор говорил, что из всех фигур найкраще-круг, а из тил-куля. В то же время среди геометрических теорем пифагорейцев нет теоремы о круге. Они занимались в основном многоугольниками. Например, они умели строить многоугольник, подобный одному из двух заданных багатокутникиви одновременно ровный другому.

Много сделал ученый и для геометрии. Доказана Пифагором знаменитая теорема носит его имя. Достаточно обстоятельно исследовал Пифагор и математические отношения, закладывая тем самым основы теории пропорций. Особенное внимание он уделял числам и их свойствам, рвавшись понять значение и природу вещей. Посредничеством чисел он пытался даже понять такие вечные категории бытия, та справедливость, смерть, постоянство, мужчина, женщина и другое.

Пифагорейцы считали, что все тела состоит из наименьших частиц “единиц бытия”, которые в разных соединениях отвечают разным геометрическим фигурам. Число для Пифагора было и материей, в формой всего мира. Из этого представления выходил и основной тезис пифагорейцев: “Все вещи сущность числа”. Но поскольку числа показывали “сущность” всего, тот объяснять природные явления следовало лишь с их помощью. Пифагор с его последователями своими трудами заложили основу одной очень важной области математики теории чисел.

После учебы в Александрии Архимед опять вернулся в Сиракузи и унаследовал должность своего отца. Основные работы Архимеда касались разных практических дополнений математики (геометрии), физики, гидростатики и механики. В своей работе "Параболы квадратуры" Архимед обґрунтував метод расчета площади параболического сегмента, причем сделал это за две тысячи лет к открытию интегрального вычисления. В труде "Об измерении круга" Архимед впервые вычислил число "пи" - отношение длины круга к диаметру - и довел, что оно одинаково для любого круга. Математический метод Архимеда, связанный с математическими работами пифагорейцев и с их работами, а также с открытиями современников Архимеда, подводил к познанию материального пространства, к познанию теоретической формы предметов, которые находятся в этом пространстве, геометрической формы, к которой предметы более-менее приближаются и законы, которые необходимо знать, чтобы влиять на вещественный мир.

Архимед изучал силы, которые двигают предметы или предоставляют равновесия, изобретая новую отрасль математики, в которой материальные тела, приведенные к их геометрической форме, хранят в то же время свой вес. Эта геометрия веса и стала рациональной механикой, статика, а также гидростатика, первый закон которой открыл Архимед (закон, который носит его имя), в соответствии с которым на тело, погруженное в жидкость, действует сила, ровная весу вытесненной им жидкости.

Известно слово "Эврика!" было вымолвлено не в связи с открытием закона Архимеда, но по поводу закона удельного веса металлов - открытия, которые также принадлежат сиракузькому ученому. В соответствии с переводами, один раз к Архимеду обратился правитель Сиракуз. Он приказал проверить, отвечает ли вес золотой короны весу отпущенного на нее золота. Для этого Архимед сделал два слитка: один из золота, другой из серебра, каждый такого же веса, что и корона. Потом по очереди положил их в сосуд с водой, отметил, на сколько поднялся ее уровень. Опустив в сосуд корону, Архимед установил, что ее объем превышает объем слитка.

Архимед создал и проверил теорию пяти механизмов, известных в наше время и именуемых "простыми механизмами". Это - рычаг ("Дайте мне точку опоры, - говорил Архимед, - и я сдвину Землю"), клин, блок, бесконечный винт и лебедка. Изобретение бесконечного винта подтолкнуло его к изобретению болта, сконструированного из винта и гайки.

В 212 году до нашей эры при обороне Сиракуз от римлян во время второй Северной войны Архимед сконструировал несколько боевых машин, которые позволили горожанам отбивать атаки преобладающих сил римлян на протяжении почти трех лет. Одной из них стала система зеркал, с помощью которой египтяне смогли сжечь римский флот. Архимед погиб во время осады Сиракуз: его убил римский воин в тот момент, когда ученый был поглощен поисками решения дежурной проблемы.

Завоевав Сиракузи, римляне так и не стали владельцами трудов Архимеда. Только через многие века они были обнаружены европейскими учеными. На могиле Архимеда была установлена плита с изображением пули и цилиндра.